Pentru teze nationale, Formule matematice folosite pentru teza nationala, Formule din Algebra, Cele mai uzuale Formule matematice din Algebra folosite pentru teza nationala

Pentru teze nationale formule matematice, Formule din Algebra folosite pentru teza nationala, Formule matematice uzuale din Algebra, Medii, Puteri, Formule de calcul prescurtat, Radicali, Logaritmi, Matrici folosite pentru teza nationala

ALGEBRA

Media aritmetica

Media geometrica (proportionala):

Media aritmetica ponderata:
, unde a₁, a₂, ..., a_n reprezinta numerele, cu ponderile p₁, p₂, ..., p_n.

Puteri:
              
                  
                         

Formule de calcul prescurtat:

Ecuatia de gradul I:
    O ecuatie de gradul I are forma: ax+b=0. Solutia acestei ecuatii este x=-b/a, cu a diferit de 0. Daca a=0 si b diferit de 0, solutia este multimea vida. Altfel, adica daca a=0 si b=0, solutia este intreaga multime de definitie.

Ecuatia de gradul al II-lea:
    Forma canonica a unei ecuatii de gradul al II-lea este: ax²+bx+c=0. Etapele rezolvarii acestei ecuatii sunt:

• Calcularea discriminantului:

• Evaluarea discriminantului:
  daca discriminantul este negativ, ecuatia nu are solutii reale;
  daca discriminantul este nul, ecuatia are o singura solutie (x₁=x₂);
  daca discriminantul este strict pozitiv, ecuatia are doua solutii, care se calculeaza dupa cum urmeaza:
• Calcularea solutiilor:

• Relaţii între  rădăcinile ecuaţiei  de gradul al doilea

Alte formule calcul prescurtat:

  şi, mai mult, avem:

Proprietăţile radicalilor:

Logaritmi

       Schimbarea bazei unui logaritm                    

                    
Matricea

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. 
Exemplu: . Putem defini o matrice astfel:

Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = a_i,j se numeste matrice de tipul (m, n), cu m linii si n coloane.

O matrice care are o dimensiune egala cu 1 se numeste vector. O matrice A[1,n] (1 linie si n coloane) se numeste vector linie, iar o  matrice B[m,1] ( o coloana si m linii) se numeste vector coloana.
Exemple:

  Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a_3,1 este 12.
este o matrice de tipul (1, 7)  sau vector linie.

O matrice A(m,n) care are m = n  se numeste matrice patratica. Deci, o matrice patratica este matricea care are numarul de linii egal cu numarul de coloane.

Adunarea matricilor

Dacă A si B sunt două matrici de tipul m x n, atunci C = A + B, unde c_i,j = a_i,j + b_i,j este suma lor (unde i<m+1, j<n+1).
Exemplu:

Inmultirea cu un scalar

Dându-se matricea A  şi scalarul (constanta) c, avem matricea B = cA, unde  b_i,j = ca_i,j care este produsul dintre matricea A si scalarul c.  De exemplu,

Inmultirea matricilor

Fie A o matrice de tip m x n si B o matrice de tip n x p. Atunci, produsul lor este C = AB o matrice de tip m x p, cu
c_i,j = a_i,1b_1,j + a_i,2b_2,j + ... + a_i,nb_1,n. De exemplu,

Proprietatile înmulţirii matricilor

1. - asociativitate
2. - element neutru, unde I_n  este matricea unitate definita astfel
           
3.
4. - distributivitate.

O matrice patratica  A, de ordin n, este inversabila (sau nesingulara) daca exista o matrice patratica  B, de ordin n,  astfel incat, sa avem

  AB = I_n = BA

In acest caz, matricea B se numeste inversa matrcii A, si se noteaza A^-1. 

Determinanţi

Fie matricea    
                            . Se numeste determinantul   matricei A, numărul
                                     

Se noteaza                         

Combinatorica

Permutari
Reprezinta numarul tuturor submultimilor unei multimi.
                   

Aranjamente
Reprezinta numarul tuturor submultimilor ordonate de k elemente ale unei multimi de n elemente.
                   

Combinari
Reprezinta numarul tuturor submultimilor (neordonate) de k elemente ale unei multimi de n elemente.
                   

Formule de derivare  - tabel al derivatelor unor funcţii elementare

 Reguli de derivare

Formule integrale - tabel primitive uzuale

 Reguli de derivare

Integrarea prin părţi

     Dacă sunt funcţii derivabile cu   derivate continue, atunci funcţiile fg, f'g şi fg' admit primitive şi mulţimile lor de primitive sunt legate prin formula

Schimbarea de variabilă

      Fie I,J  două intervale din R şi fie şi f două funcţii cu proprietăţile

         1. este derivabilă pe I;
         2. g admite primitive (fie G o primitivă a sa).
     Atunci funcţia admite primitive pe I, iar funcţia este o primitivă a lui , adică

Aplicaţii ale integralelor în Geometrie

Calculul ariei unor suprafeţe plane

Dacă G este subgraficul funcţiei continue 
f:[a,b]->R₊, atunci aria lui G este

Lungimea graficului unei funcţii

Lungimea  graficului funcţiei f:[a,b]->R derivabilă cu derivata continuă, este

Aria laterală a  unui corp de rotaţie

Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are aria laterală egală cu

Volumul  unui corp de rotaţie

Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are volum şi

Geometrie plană

Triunghiul                              

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:
P=AB+BC+CA Aria triunghiului=(inaltimea x baza)/2, adica:
A_triunghi=(b x h)/2.
In cazul nostru, b=BC, iar h=AD. Deci,
A_ABC=(BCxAD)/2

Paralelogramul                                        

Perimetrul= suma tuturor laturilor,                        adica:
P=AB + BC + CD + DA. Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente (egale), perimetrul poate fi calculat astfel P=2(AB + BC). Aria paralelogramului = baza x inaltimea, adica A_paralelogram=b x h, iar in cazul nostru,
A_ABCD=DC x AM, pentru ca
DC=b (baza) si AM=h (inaltime).

Dreptunghiul                                                                                                                                                   

Dreptunghiul are lungime( not L=AB)        si latime (not l=BC).
Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:
P=AB+BC+CD+DA sau P=2(L+l)

Aria dreptunghiului = lungimea x latimea
A_dreptunghi=L x l. In cazul nostru, A_ABCD=AB x BC.

Patratul                                                                                                                                                  

Patratul este un dreptunghi care are toate laturile egale (congruente), sau lungimea egala cu latimea.
Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:
P=AB+BC+CD+DA sau P=4 L, unde L este latura patratului (AB=BC=CD=DA=L).
Aria patratului=latura x latura = latura², adica, A_patrat=L².
In cazul nostru, A_ABCD=AB².

Trapezul                                                                                                                                                 

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:
P=AB + BC + CD + DA.

Aria trapezului = (baza mare + baza mica)xinaltimea/2, adica A_trapez=(B + b) x h/2, iar in cazul nostru
A_ABCD=(DC + AB) x AM/2, pentru ca
DC=B (baza mare)
AB=b (baza mica), iar
AM=h (inaltimea).

Cercul                                                                                                                                                     

Avem OA - raza (not. r)
Lungimea cercului (circumferinta cercului):
   
Aria cercului (corect ar fi aria discului):
   

Geometrie în spaţiu

Corpuri - Poliedre

Piramida                                                                                                                              

Vom discuta decat de corpuri regulate, deci si piramida este regulatã.
Avem: AB - muchia bazei(not. m)
VA - muchia laterala(not. l)
VO - inaltimea piramidei (not. h)
VM - apotema laterala sau apotema piramidei (not. a_p)
OM - apotema bazei (not. a_b).
Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale
     A_lat=(P_b x a_p)/2.
Aria bazei
     A_b=(P_b x a_b)/2, unde P_b este perimetrul bazei.
Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul
        V_pir=(A_b x h)/3.
Tetraedrul poate fi considerat o piramida care are ca baza un triunghi, aria si volumul calculandu-se analog.

Paralelipipedul dreptunghic, cubul, prisma

Avem: AB - lungime(not. L)
BC - latime(not. l)
AE - inaltimea sau muchia laterala (not. h)
     Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale
     A_lat=P_b x h, unde P_b este perimetrul bazei,
sau
     A_lat=2(L + l) x h
Aria bazei
     A_b=L x l.
Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul
        V_{paralelipiped}=A_b x h
sau V_{paralelipiped}=L x l x h.

Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prisma, iar cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, in sensul ca este un paralelipiped cu toate laturile congruente. De aceea nu amintim nimic despre ele aici.

Trunchiul de piramida

Avem: AB - Muchia bazei mari
A'B' - Muchia bazei mici
OO' - Inaltime (not. h)
AA' - Muchia laterala
OM - Apotema bazei mari (not. a_B)
O'M' - Apotema bazei mici (not. a_b)
MM' - Apotema trunchiului de piramida (not. a_t)
     Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale
     A_lat=(P_B+P_b)a_t/2, unde P_b este perimetrul bazei mici, iar P_B este perimetrul bazei mari. Ariile bazelor se calculeaza in functie de natura bazelor (triunghi, patrulater etc.), iar la piramida regulata se mai pot calcula si cu ajutorul formulelor:
     A_b=P_b x a_b.
     A_B=P_B x a_B.
Aria totala = aria bazei mari + aria bazei mici + aria laterala

Volumul
         V_{trunchi de piramida}=

Corpuri - Corpuri rotunde

Cilindrul

Avem:
AA' - generatoare (not. g)
OO' - inaltimea cilindrului (not. h; in cazul nostru, la cilidrul circular drept, avem g=h)
AO - raza bazei (not. r)
Aria bazei = aria cercului de la baza, adica:
    
Aria laterala:
    
Aria totalã:
    
Volumul cilindrului:
    

Conul

Avem:
VA - generatoare (not. g)
VO - inaltimea conului (not. h)
AO - raza bazei (not. r)
Aria bazei = aria cercului de la baza, adica:
    
Aria laterala:
    
Aria totala:
    
Volumul conului:

Trunchiul de con

Avem:
A'A - generatoare (not. G)
OO' - inaltimea trunchiului de con (not. I)
AO - raza bazei mari(not. R)
A'O' - raza bazei mici(not. r)
Aria laterala:

Aria totala:

Volumul:

Sfera

Avem:
OA - razã (not. r)
Aria sferei:
    
Volumul sferei:
    

Definitii

Intr-un triunghi dreptunghic, considerand masura unui unghi ascutit numim:  

sinusul=cateta opusa / ipotenuza
cosinusul=cateta alaturata / ipotenuza
tangenta=cateta opusa / cateta alaturata
cotangenta=cateta alaturata / cateta opusa

Sinusul, cosinusul, tangenta si cotangenta se numesc functii trigonometrice si se noteaza cu sin, cos, tg, si ctg.

In triunghiul ABC de mai sus avem:

Simple formule trigonometrice

Fiind dat un triunghi ABC dreptunghic in A, sunt adevarate urmatoarele relatii:

      formula fundamentala a trigonometriei

Tabele trigonometrice

Cele mai cunoscute valori ale functiilor trigonometrice (în tabelul de mai jos):

Alte formule

                                               Pentru triunghiul alăturat avem formulele:

                  ,     
             

Tangenta

Cotangenta

Dacă  , avem:    

, unde  

Cauchy Buniakovski

Tag-uri : matematica, algebra, geometrie, totul despre matematica, ecuatii matematica, matematica, algebra, geometrie, totul despre matematica, ecuatii matematica.